Opsiyon ticaretinin Yunan değişkenleri hakkında ayrıntılı bir rehber

Yunanlılar

Yunanlılar - delta, gama, teta, vega ve rho - bir opsiyon pozisyonunun risklerini belirlemeye yardımcı olan beş değişkendir.

Yatırımcıların opsiyonlarda karşılaştıkları riskler tek boyutlu değildir. Değişen piyasa koşullarıyla başa çıkmak için, bir yatırımcı bu değişikliklerin büyüklüğünün farkında olmalıdır. Değişikliklerin büyük mü yoksa küçük mü olduğunu görmek için, büyük veya küçük bir risk oluşturup oluşturmadıklarını görmek için opsiyon teorisi ve opsiyon fiyatlandırma modelleri yatırımcılara opsiyon pozisyonlarının risk özelliklerini belirleyen değişkenler sağlar. Bu değişkenlere Yunanlılar denir. İzlediğimiz beş Yunan var: delta, gama, teta, vega ve rho.

Yunanlılar Black & Scholes formülünün türevleri oldukları için, bununla ilgili biraz daha açıklama yaparak başlayacağız.

Siyah okullar

Bazen Black, Scholes ve Merton formülü olarak bilinen Black and Scholes formülü, fiyatlandırma seçenekleri için pazar standardı araçtır. Bu formül seçeneği, mevcut hisse senedi fiyatı S ₀, T seçeneğinin vade süresi, X ihtarı, oynaklığı σ ve faiz oranı r'nin bir fonksiyonu olarak fiyatlandırma seçeneği:

çağrı = S ⁰ N (d ₁) - Xe ^-rT N (d ₂)

put = Xe ^-rT N (-d ₂) - S ₀ N (-d ₁) ile

burada N (x), standart normal dağılım için kümülatif normal dağılım fonksiyonudur, yani rastgele bir değişken ~ N (0,1) (standart bir normal dağılımla) x'ten küçük olma olasılığıdır.

Formülü tartışmadan önce, temel varsayımları ifade edelim. Black and Scholes formülü şunu varsayar:

İadeler, normal dağılımla IID'dir (bağımsız ve aynı şekilde dağıtılır).
Gelecekteki oynaklık bilinmekte ve sabittir.
Gelecekteki faiz oranı bilinir, sabittir ve borçlanma ve borç verme için aynıdır.
Stok yolu süreklidir ve sürekli ticaret mümkündür.
İşlem maliyetleri boştur.

Teoriyi geliştirmek için tüm bu varsayımların geçerli olduğunu varsayıyoruz. Bu formül piyasa standardıdır çünkü varsayımlarının ihlalleri açısından son derece sağlamdır.

Delta

Tartışılacak ilk Yunanca deltadır. Temel olarak delta, bir opsiyonun teorik değerinin, temel sözleşmenin fiyatındaki bir değişikliğe olan duyarlılığıdır. Daha basit olan delta, temel değer 1 dolar arttığında bir opsiyonun değerinin değişmesidir. Örneğin:

Δ _çağrı = ∂c / ∂S = N (d ₁) ve Δ _koy = ∂p / ∂S = N (d ₁) - 1, BS formülündeki gibi

N (d ₁) ile.

Hisse senedi fiyatı yükseldiğinde bir alım opsiyonunun değeri artar, bu nedenle bir alım opsiyonunun deltası pozitiftir. Tersine, hisse senedi fiyatı yükseldiğinde bir satım opsiyonunun değeri azalır, bu nedenle satım opsiyonunun deltası negatiftir.

N (x) 'in bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğu not edilebilir, bu yüzden değer alır. Bir aramanın deltası her zaman içeride ve bir aramanın deltası yerleştirilir. Temel seviye genellikle 100 hisse senedi olduğundan, opsiyonun deltası 100 ile çarpılır. Örneğin 0,25 delta olan bir opsiyon delta 25 olarak kabul edilir. Delta ne kadar yüksekse opsiyonun değerindeki değişiklik o kadar benzer olacaktır. temeldeki hisse senedi. Delta 100 olan bir opsiyonun değeri, temeldeki hisse senedi ile tam olarak aynı oranda hareket edecektir. Ayrıca, türev işlemin doğrusal olduğuna dikkat edin, böylece her seçeneğin deltasını hesaplayabilir ve tüm portföyün deltasını elde etmek için bunları toplayabiliriz (bu durumda elbette dışında olabilir).

Bir opsiyonun vadesi yaklaştığında, paranın içinde veya dışında sona erme olasılığı değiştiğinden ve normal dağılım daraldığından ve ortalamanın etrafında ortalandığından deltası değişecektir. Bir opsiyonun vadesi yaklaştıkça, para içi opsiyonlar delta 100'e, para dışı opsiyonlar ise delta 0'a doğru hareket edecek. Öte yandan, parasal opsiyonlar delta civarında kalacak. 50.

Fiyatta temel hisse senedi değiştikçe, delta da değişir. D ₁ hisse senedi fiyatının bir fonksiyonu olduğu için bu beklenmelidir.

Çağrı Delta

Delta'nın pratik bir yorumu, hedge oranıdır: bir opsiyonun yönsel riskini etkisiz hale getirmek için alınması veya satılması gereken hisse miktarı. BS formülünden başka bir yorum görebiliriz. Kabaca konuşursak, bir opsiyonun deltasının paranın vadesinin dolma olasılığı olduğunu söyleyebiliriz. (Bir koyma için mutlak değeri alacağız). Bu yaklaşım yalnızca Avrupa seçenekleri için işe yarar.

Özetle, deltanın üç yorumu vardır:

Temel 1 dolar artarsa bir opsiyonun değerindeki değişiklik.
Riskten korunma oranı: pozisyonun yönsel riskini nötralize etmek için alınacak veya satılacak hisse sayısı.
Opsiyonun vadesi dolduğunda para içinde olma şansı

→ OTM çağrıları: delta, sona erme noktasına yaklaştıkça 0 eğilimindedir.

→ ITM çağrıları: delta, zaman geçtikçe 100'e eğilim gösterir.

Satım deltası ve Dayanak Fiyat

Delta ve Volatilite

Volatilite arttıkça (azaldığında), bir çağrının deltası 0,50'ye (uzağa) ve bir koymanın deltasına (uzağa) -0,50'ye (uzağa) gider. Dolayısıyla, oynaklık artarsa (azalırsa) para opsiyonundaki bir delta azalır (artar). Para dışı seçeneği olması durumunda, bu tam tersidir.

Delta ve Zaman

Zaman azaldıkça, bir aramanın deltası 0,50'den ve bir koymanın deltası -0,50'den uzaklaştırılır. Zaman geçtikçe, para çağrısındaki bir delta 1'e ve paranın deltası 0'a doğru hareket eder.

Gama

Gama, hisse senedi fiyatının bir fonksiyonu olarak deltanın türevidir. Delta, temel hisse senedinin bir fonksiyonu olarak opsiyon değerinin türevi olduğundan, gama, hisse senedi fiyatı 1 dolar arttığında deltanın değişimidir. Aşağıdaki gibi yazılmıştır:

Γ = δ ₂ c / δS ² = N '(d ₁) / S ₀ σ √T

BS formülündeki gibi d ₁ ve Gauss kümülatif yoğunluk fonksiyonunun ilk türevi olan N ', normal Gauss yoğunluğu:

Gama ve Hisse Senedi Fiyatı, Gama ve Zaman

Genellikle, bir seçenek ATM olduğunda gamanın maksimum değerine ulaştığı söylenir. Bu ilk yaklaşım olarak doğrudur, ancak gerçek maksimuma, hisse senedi fiyatı işlem fiyatının hemen altında olduğunda ulaşılır. Bu etki yukarıdaki şeklin sol kısmında 100 dolardan işlem gören bir hisse senedi için gösterilmektedir. Bir X vuruşu, oynaklık σ, bir r oranı ve bir sona erme süresi verildiğinde, maksimum gama veren hisse senedi değeri S _{max Γ} = Xe ^{- (r + 3σ ^ 2/2) T'dir}.

Bir çağrı ve bir koymanın gama eğrisi aynıdır. Bu, şimdiye kadar genel olarak aramalar ve koymalar ve özellikle gama hakkında söylediklerimizle tutarlıdır.

Vade bitimine kadar geçen süre azaldıkça, karşılıksız opsiyonların gama ve teta değerleri artar. Son kullanma tarihinden hemen önce, bu değişkenler önemli ölçüde büyük hale gelebilir.

Zamana karşı Gama

Yukarıdaki şekilde gösterildiği gibi, grafik daralır, ancak grafiğin altındaki toplam yüzey değişmeden kalır. Sonuç olarak, grafiğin tepesi çok daha yüksektir. Üst kısım, son kullanma süresi azaldıkça gama ve teta'daki artışı sembolize eder.

ITM, ATM ve OTM çağrılarının davranışı nedeniyle, sona erme yaklaştıkça delta eğrisinin grev etrafında dikleşeceğini görüyoruz. Bu nedenle, zaman geçtikçe ATM seçeneği için gama artacaktır. Ancak bu, OTM ve ITM seçenekleri için geçerli değildir.

Gama, hisse senedi fiyatı değiştikçe delta nötr portföyümüzde ne kadar para kazanabileceğimizi veya kaybedebileceğimizi belirlediği için önemli bir risk parametresidir. Aşağıdaki örnekte, bir opsiyon pozisyonunun P / L'sini, temelin hareketinin bir sonucu olarak değerlendireceğiz. Sabit bir gama olarak 2,7 olacağını varsayacağız, bu nedenle delta, temelin dolar hareketi başına 2,7 oranında değişir.

80 çağrıyı 1000 defa 5.52'den 79 dolar hisse senedi fiyatıyla aldığımızı varsayalım. Delta nötr olmak için 51.100 hisse satmalıyız. Hisse senedi fiyatı aşağıdaki şekilde gelişir:



t =	Hisse senedi fiyatı
0	79
1	84
2	76
3	79

T = 1 ve t = 2'de, delta nötr olmak için korumamı yeniden ayarlıyorum. T = 3'te pozisyonumu kapatırım.

Bir Pozisyonun Değerindeki Değişimi Hesaplamanın Üç Yolu

Pozisyonumuzun değerindeki değişikliği hesaplamanın üç yolu vardır; ilki nakit akışını kullanarak, ikincisi delta kullanarak ve üçüncüsü gama kullanarak.

1. Nakit Akışını Kullanarak Kar Hesaplama

Aşağıdaki tabloda gösterildiği gibi önce nakit akışlarına bakıyoruz. İkinci sütun, çağrı ile ilgili nakit akışlarını ve üçüncüsü hisse senedi pozisyonumla ilgili nakit akışlarını gösterir. Son satırın toplamı:

Yani sonuçta 132.300 kar yapıyoruz. Uzun opsiyonluysak ve bu nedenle uzun bir gama pozisyonumuz varsa, hisse senedi fiyatı düşerse hisse senedi satın almalıyız ve hisse fiyatı artarsa hisse senedi satmalıyız (düşük al, yüksek sat), bu yüzden hisse senedi hareket ederse her zaman kar ederiz. Bunun hem aramalar hem de koymalar için geçerli olduğunu kendiniz kontrol edin.

2. Delta Kullanarak Karı Hesaplama

Şimdi karı hesaplamanın ikinci bir yolunu düşünüyoruz. İşlemler aynıdır, sadece kar hesaplaması farklılık gösterir. Bu yöntemle aynı anda opsiyon ve stok pozisyonunu dikkate alıyoruz. Hisse senedi opsiyonu için bir koruma olarak var, bu yüzden toplam delta pozisyonunu düşünelim. Delta nötr başlatıyoruz. Sonra hisse senedi hareketi, deltalar kazanırız. (Verilen başlangıç ve bitiş stok değerleri için verilen iki delta arasındaki farkı kullanarak kazandığımız deltaları hesaplıyoruz. Hareket sırasında ortalama deltayı elde etmek için bu değeri ikiye böleriz). Portföy, aşağıda açıklandığı üzere deltalarına göre değer kazanmaktadır.

Bu durumda ortalama delta yöntemini kullanıyoruz. Yani biz:

Stok taşıma sırasında ortalama delta konumunu hesaplayın.
Kârı hesaplamak için bunu aralıkla çarpın.

T zamanında, hedge ederiz, bu yüzden hisse senedi alıp satarız, böylece delta tekrar nötr olur.

Şuna daha dikkatli bakalım:

T = 0, hisse senedi işlemleri 79'da, delta nötr bir pozisyon başlatıyoruz, yani 51.100 hisse açığımız var
T = 1'de hisse senedi işlemleri 84'tür. Opsiyon pozisyonunun deltası 64.6 * 1000 (opsiyonlardan) -51100 (hisse senetlerinden). T = 0 ile t = 1 arasında, delta konumum 0'dan 13.500'e çıktı. Hareket için ortalama deltam (13,500 + 0) / 2 = 6750 (arama başına 6,75) idi. Pozisyonumun PnL'sini hesaplamak için bu deltaları hisse senedi hareket miktarı ile çarpıyorum: 6570 * 5 = 33.750 dolar. Bu kârı gerçekleştirmek için hisse senetlerinin tekrar delta nötr olması gerekiyor.
T = 2'de hisse senedi işlemleri 76. Opsiyon pozisyonumun deltası 43.0 * 1000 ve hisse pozisyonumun deltası -64600…

Gama kullanarak kar hesaplama örneği.

3. Gama Kullanarak Kar Hesaplama

Yukarıdaki örnekte, başlangıç delta konumu ve son delta konumunun ortalamasını alarak ortalama delta konumunu hesapladık. Bu, gama deltanın dolar başına değişimini tanımladığı için gama kullanılarak da elde edilebilir.

Nasıl olduğunu açıklayalım:

T = 0'da hisse senedi işlemleri 79, delta nötr, gama 2.700'dür.
T = 1'de hisse senedi işlemleri 84. Hisse 5 arttı, bu nedenle yeni delta pozisyonum 5 * 2.700. Hareketin başlangıcında deltam 0 idi, dolayısıyla ortalama deltam 5 * 2.700 / 2'dir. Stok 5 oranında hareket etti, böylece portföy 5 * ortalama delta = 5 * 5 * 2.700 / 2 kazandı. Portföy, deltanın yeniden 0 olması için hedge edilir. Biz buna "gamayı ölçeklemek" diyoruz Uzun bir gama pozisyonu, düşük fiyattan alıp yüksek fiyattan satış yapmanızı sağlar.
T = 2'de hisse senedi işlemleri 76. Bu 8 dolarlık bir hareket, yeni delta pozisyonum 8 * 2700…

Delta nötr bir portföyden başlarsak aşağıdaki genel formül kullanılabilir:

P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2